Tìm x, y, z thoả mãn điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{matrix}\right.\)
Tìm x,y,z thỏa mãn điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: ...
Lần lượt trừ vế với vế của từng pt ta được hệ mới:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4x-1}\\y-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4y-1}\\x-y=\sqrt{4y-1}-\sqrt{4x-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-z=\frac{4\left(z-x\right)}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}\\y-z=\frac{4\left(z-y\right)}{\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}}\\x-y=\frac{4\left(y-x\right)}{\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-z\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}\right)=0\\\left(y-z\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}}\right)=0\\\left(x-y\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}}\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\)
Thay vào pt đầu:
\(2x=\sqrt{4x-1}\Leftrightarrow4x^2=4x-1\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
Cách 2: sử dụng BĐT
Ta có: \(1.\sqrt{4z-1}\le\frac{1}{2}\left(1+4z-1\right)=2z\)
\(\Rightarrow x+y\le2z\) (1)
Tương tự ta có: \(y+z\le2x\) (2) ; \(z+x\le2y\) (3)
Cộng vế với vế (1) và (2) \(\Rightarrow2y\le x+z\) (4)
Từ (3); (4) \(\Rightarrow2y=x+z\)
Hoàn toàn tương tự ta có: \(2z=x+y\) ; \(2x=y+z\)
\(\Rightarrow x=y=z\)
Thay vào pt ban đầu: \(2x=\sqrt{4x-1}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
Giai he phuong trinh:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y^2=1\\4x^2-5xy=2\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{y+2018}=1\\\sqrt{x+2018}+y=1\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{matrix}\right.\)
Giair hpt:
\(\left\{\begin{matrix}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
ĐK \(x,y,z\geq \frac{1}{4}\)
\(\text{HPT}\Rightarrow 2(x+y+z)=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\sqrt{4x-1}=\sqrt{(4x-1).1}\leq \frac{4x-1+1}{2}=2x\)
Tương tự với các biểu thức còn lại.....
\(\Rightarrow \sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\leq 2(x+y+z)\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} 4x-1=1\\ 4y-1=1\\ 4z-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\\ z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy HPT có nghiệm \((x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}\\\dfrac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}\\\dfrac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}\end{matrix}\right.\)
Tìm 3 bộ số x, y, z thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z\le9\\\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}+5x+4y+3z=xy+yz+xz+11\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left(x-1;y-2;z-3\right)=\left(a;b;c\right)=abc>0\)
Điều kiện bài toán trở thành :
\(a+1+b+2+c+3< 9\)
\(\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\sqrt{c+5\left(a+1\right)+4\left(b+2\right)+3+\left(c+3\right)}\)
\(=\left(a+1\right)\left(b+2\right)=\left(b+2\right)\left(c+3\right)=\left(c+3\right)+\left(a+1\right)+11+a+b+c< 3\)
\(a+b+c< 3\)
\(=\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+ab+bc+ca}\)
Mặt khác, do aa không âm, ta luôn có:
\(\text{(√a−1)2(a+2√a)≥0(a−1)2(a+2a)≥0}\)
\(\text{⇒a2−3a+2√a≥0⇒a2−3a+2a≥0}\)
\(\text{⇒2√a≥a(3−a)≥a(b+c)⇒2a≥a(3−a)≥a(b+c) (1)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có:\(\text{ 2√b≥b(c+a)2b≥b(c+a) (2)}\)
\(\text{2√c≥c(a+b)2c≥c(a+b) (3)}\)
Cộng vế với vế (1);(2);(3):
\(\text{2(√a+√b+√c)≥2(ab+bc+ca)2(a+b+c)≥2(ab+bc+ca)}\)
\(\text{⇔√a+√b+√c≥ab+bc+ca⇔a+b+c≥ab+bc+ca}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\text{a=b=c=0a=b=c=0 hoặc a=b=c=1a=b=c=1}\)
⇒x=...;y=...;z=...
a) Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z+xy+yz+zx=6. Tìm Min \(P=x^2+y^2+z^2\)
giải hệ pt : 1) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{y}}=2\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{x}}=2\end{matrix}\right.\)
2) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^4+x^2y^2+y^4=21\end{matrix}\right.\)
1. Với mọi số thực x;y;z ta có:
\(x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(z^2+1\right)\ge xy+yz+zx+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}P+\dfrac{3}{2}\ge6\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
\(P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
1.1
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=a>0\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\sqrt{2-b^2}=2\\b+\sqrt{2-a^2}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a-b+\sqrt{2-b^2}-\sqrt{2-a^2}=0\)
\(\Leftrightarrow a-b+\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{2-b^2}+\sqrt{2-a^2}}=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào pt đầu:
\(a+\sqrt{2-a^2}=2\Rightarrow\sqrt{2-a^2}=2-a\) (\(a\le2\))
\(\Leftrightarrow2-a^2=4-4a+a^2\Leftrightarrow2a^2-4a+2=0\)
\(\Rightarrow a=1\Rightarrow x=y=1\)
2.
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^2-xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+3xy+3y^2=21\\7x^2-7xy+7y^2=21\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4x^2-10xy+4y^2=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=\dfrac{1}{2}x\end{matrix}\right.\)
Thế vào pt đầu
...
Tìm x , y , z thỏa man điều kiện \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
DK : \(x,y,z\ge\frac{1}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có :
\(2x+2y+2z-\sqrt{4x-1}-\sqrt{4y-1}-\sqrt{4z-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)\)
\(+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
Dễ thấy : \(VT\ge0\forall x,y,z\)
" = " \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}=1\\\sqrt{4y-1}=1\\\sqrt{4z-1}=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}}\)
Chúc bạn học tốt !!!
ĐK: \(x,y,z\ge\frac{1}{4}\)
hệ pt <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}2x+2y=2\sqrt{4z-1}\\2y+2z=2\sqrt{4x-1}\\2z+2x=2\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
=> \(4x+4y+4z=2\sqrt{4z-1}+2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}\)
<=> \(\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)
<=> \(\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}-1=0\\\sqrt{4y-1}-1=0\\\sqrt{4z-1}-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}4x-1=1\\4y-1=1\\4z-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)(tm đk)
Thử vào thỏa mãn.
Vậy...
Giải hệ phương trình:
1. \(\left\{{}\begin{matrix}x+3=2\sqrt{\left(3y-x\right)\left(y+1\right)}\\\sqrt{3y-2}-\sqrt{\dfrac{x+5}{2}}=xy-2y-2\end{matrix}\right.\)
2. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2y^2-7y+10-x\left(y+3\right)}+\sqrt{y+1}=x+1\\\sqrt{y+1}+\dfrac{3}{x+1}=x+2y\end{matrix}\right.\)
3. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4x-y}-\sqrt{3y-4x}=1\\2\sqrt{3y-4x}+y\left(5x-y\right)=x\left(4x+y\right)-1\end{matrix}\right.\)
4. \(\left\{{}\begin{matrix}9\sqrt{\dfrac{41}{2}\left(x^2+\dfrac{1}{2x+y}\right)}=3+40x\\x^2+5xy+6y=4y^2+9x+9\end{matrix}\right.\)
5. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy+\left(x-y\right)\left(\sqrt{xy}-2\right)}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\\\left(x+1\right)\left[y+\sqrt{xy}+x\left(1-x\right)\right]=4\end{matrix}\right.\)
6. \(\left\{{}\begin{matrix}x^4-x^3+3x^2-4y-1=0\\\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=x+2y\end{matrix}\right.\)
7. \(\left\{{}\begin{matrix}x^3-12z^2+48z-64=0\\y^3-12x^2+48x-64=0\\z^3-12y^2+48y-64=0\end{matrix}\right.\)
1)Giải hệ phương trình với \(x,y,z\in R\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{yz}=1\\y+\sqrt{zx}=1\\z+\sqrt{xy}=1\end{matrix}\right.\)
2)Cho đa thức \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\) thoả mãn \(\overline{abc}\) là số nguyên tố
a)Xác định \(P\left(x\right)\) biết \(P\left(0\right)=3,P\left(1\right)=4\)
b)Chứng minh \(P\left(x\right)\) vô nghiệm trên \(Z\)
3)Tìm tất cả các hàm \(f\):\(R\rightarrow R\) thoả mãn :
\(f\left(x^2\right)=f\left(x+y\right).f\left(x-y\right)+y^2,\forall x,y\in R\)
4)Cho đường tròn \(\left(I,r\right)\) nội tiếp \(\Delta ABC\).\(M\in\) đoạn \(BC\), \(\left(M\ne B,C\right)\).Gọi \(\left(I_1,r_1\right)\)là đường tròn nội tiếp \(\Delta AMC\).Đường thẳng song song \(BC\) tiếp xúc \(\left(I_1,r_1\right)\) cắt các cạnh \(AB,AC\) tại \(X,Y\).\(AM\) cắt \(XY\) tại \(N\).Gọi \(\left(I_2,r_2\right)\) là đường tròn nội tiếp \(\Delta AXN\).Chứng minh:
a)\(A,I,I_1,I_2\) cùng thuộc 1 đường tròn
b)\(r=r_1+r_2\)